Exercice 21 page 271 : Graphes

système : enfant de masse m dans le référentiel terrestre.

1. L'enfant est soumis à des frottements donc l'énergie mécanique ne se conserve pas. On en déduit qu'il s'agit du deuxième graphique.
2. L'énergie potentielle de pesanteur diminue au cours du temps donc les graphiques représentent la descente de l'enfant. Justification aussi valable avec l'énergie cinétique qui augmente donc la vitesse de l'enfant augemente d'où...

Exercice 31 page 272 : Le pendule simple

système : pendule de masse m dans le référentiel terrestre.

1. 1. Expression de l'altitude en A : cos α_A =
      -z_A / L
      donc z_A = - L cos α_A ;
      expression de l'altitude en B : cos α_B =
      -z_B / L
      donc z_B = - L cos α_B.
   2. Expression de l'énergie potentielle de pesanteur en A :
      E_pp(A) = m g z_A et E_pp(A) = - m g L cos α_A ;
      de même en B : E_pp(B) = - m g L cos α_B
      avec g intensité du champ de pesanteur.
2. 1. Energie mécanique en A : E_m(A) = E_c(A) + E_pp(A) avec E_c(A) =
      1 / 2
      m v_A²
      et E_m(A) =
      1 / 2
      m v_A² - m g L cos α_A ;
      energie mécanique en B : E_m(B) = E_c(B) + E_pp(B) =
      1 / 2
      m v_B² - m g L cos α_B
      en B la vitesse est nulle donc v_B = 0 m/s donc E_m(B) = - m g L cos α_B.
   2. On calcule l'angle maximum α_B :
      on néglige les frottements donc l'énergie mécanique se conserve et E_m(A) = E_m(B)
      
      1 / 2
      m v_A² - m g L cos α_A = - m g L cos α_B
      
      v_A² / 2
      - g L cos α_A = - g L cos α_B
      cos α_B = cos α_A -
      v_A² / 2 g L
      
      donc α_B = arccos( cos α_A -
      v_A² / 2 g L
      )
      AN avec α_A = 30° ; g = 9,81 m.s^{- 2} ; L = 20 cm = 20. 10^{- 2} m et v_A = 1,0 m.s^{- 1} :
      α_B = arccos( cos 30 -
      1² / 2 x 9,81 x 20. 10^{- 2}
      ) = 52°.
      Le pendule ne pourra pas dépasser un angle de 52°.

Exercice 14 page 269 : Tour Eiffel
système : Taig Kris de masse m dans le référentiel terrestre.

1. On calcule l'énergie potentielle de pesanteur E_pp = m g h :
   avec g = 9,81 m.s^{- 2} l'intensité du champ de pesanteur, m = 90 kg et h la hauteur.
   1. E_pp = 0 J au niveau du sol : h = 57,63 m
      et E_pp = 90 x 9,81 x 57,63 = 5,1. 10⁴ J.
      L'énergie potentielle de pesanteur vaut 5,1. 10⁴ J.
   2. E_pp = 0 J au niveau du 1^er étage : h = 0 m
      et E_pp = 90 x 9,81 x 0 = 0 J.
      L'énergie potentielle de pesanteur vaut 0 J.
   3. E_pp = 0 J au niveau du 2^er étage : h = 57,63 - 115,73 = -58,10 m
      et E_pp = 90 x 9,81 x -58,10 = -5,1. 10⁴ J.
      L'énergie potentielle de pesanteur vaut -5,1. 10⁴ J.
   4. E_pp = 0 J au niveau du 3^er étage : h = 57,63 - 267,13 = -209,50 m
      et E_pp = 90 x 9,81 x -209,50 = -1,8. 10⁵ J.
      L'énergie potentielle de pesanteur vaut -1,8. 10⁵ J.
2. L'énergie potentielle peut être positive comme négative donc il s'agit d'une grandeur algébrique (cf la notation algébrique des distances en optique).

Exercice 32 page 272 : Un service au tennis
système : balle de masse m dans le référentiel terrestre.

1. Expression de l'énergie potentielle de pesanteur en D : E_m(D) = m g z_d et E_m(D) = m g H
   avec g l'intensité du champ de pesanteur.
   AN avec m = 55,0 g = 55,0. 10^{- 3} kg ; g = 9,81 m.s^{- 2} et H = 2,20 m :
   E_m(D) = 55,0. 10^{- 3} x 9,81 x 2,20 = 1,19 J.
   En D l'énergie potentielle de pesanteur est de 1,19 J.
2. Expression de l'énergie cinétique en D : E_c(D) =
   1 / 2
   m v_D²
   de même en B : E_c(B) =
   1 / 2
   m v_B².
   L'énergie cinétique est en joule, la masse en kilogramme et la vitesse v en mètre par seconde.
3. Energie mécanique de la balle en D : E_m(D) = E_c(D) + E_pp(D) et E_m(D) =
   1 / 2
   m v_D² + m g H
   Energie mécanique de la balle en B : E_m(B) = E_c(B) + E_pp(B) et E_m(B) =
   1 / 2
   m v_B².
4. Les frottements sont négligeables, donc l'énergie mécanique se conserve et E_m(D) = E_m(B).
5. D'où
   1 / 2
   m v_D² + m g H =
   1 / 2
   m v_B²
   v_B² = v_D² + 2 g H
   et v_B = √(v_D² + 2 g H)
   AN avec v_D = 126 km.h^{- 1} =
   126 / 3,6
   = 35,0 m.s^{- 1} :
   v_B = √( 35,0² + 2 x 9,81 x 2,20) = 35,6 m.s^{- 1} = 128 km.h^{- 1}.
   La vitesse de la balle au sol est de 128 km.h^{- 1}.